Prof : Christian A. Quiroz Ravanal
4º Guía de conceptos 2º Medio
MOVIMIENTOS

¿Qué es el movimiento?

Cinemática y Dinámica

Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él.
La Cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características mientras que la Dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos.

Trayectoria

Hemos dicho en el apartado anterior que la trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria:

Tipos de Movimientos Tipos de trayectorias
de una dimensión Líneas rectas
de dos dimensiones Líneas curvas planas
de tres dimensiones Líneas curvas no planas

Movimientos rectilíneos

Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta.

Movimientos curvilíneos

Ya has visto en la tabla anterior que podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones.
Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria.
Así, podemos citar:

Movimientos circulares

Movimientos elípticos

Movimientos parabólicos


Distancia y Desplazamiento

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente.
La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.


En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.

Rapidez y Velocidad

Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia.
Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes.
Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes.

La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.
La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo.


Unidades

Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:
m/s
cm/año
km/h

En el Sistema Internacional, la unidad para la rapidez media es el m/s (metro por segundo).

Rapidez media

La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora.

Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo.

Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es:
150 km / 3h = 50 km/h

¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora?

Solución :

Queremos calcular la distancia que recorrerá en media hora un coche que circula con una rapidez media de 50 km/h.

Como :
rapidez media = distancia / tiempo

si despejamos la distancia, será:

distancia = rapidez media • tiempo = 50 km/h • 0,5 h = 25 km

Velocidad media

La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.











Si conoces bien la diferencia entre distancia y desplazamiento, no tendrás problemas para realizar la siguiente actividad:



Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico.


Cálculo de la rapidez media

Tramo A - B
distancia recorrida = 350 m
tiempo empleado = 3 min

Tramo B - C
distancia recorrida = 200 m
tiempo empleado = 2 min

Tramo C - D
distancia recorrida = 450 m
tiempo empleado = 5 min = 300s

Movimiento completo
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m
tiempo = 10 min = 600s
rapidez media = distancia/tiempo = 1000 m/10 min = 100 m/min = 1.66 m/s

Cálculo de la velocidad media

Para la velocidad sólo nos interesa el inicio y el final del movimiento.


desplazamiento = posición final - posición inicial =
= -100 m - 500 m = -600 m

Como la duración del movimiento es 10 min, tenemos:
velocidad media = desplazamiento/tiempo =
= -600m/10 min = -60 m/min = - 1 m/s

Velocidad instantánea y rapidez instantánea

Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h.
Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido a echar gasolina o a tomar un bocadillo y sabemos que al atravesar las poblaciones hemos viajado más lento que en los tramos de carretera.
Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos.
Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:

Rapidez instantánea : la rapidez en un instante cualquiera.
Rapidez media : es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo.

Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor.
Supón que queremos conocer la rapidez de una piragua justamente en el instante de cruzar la meta.
Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que la piragua se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final.
Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta.
¿Y si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro, o para....?

Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea.

Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.

Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.

En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes. La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo.

Rapidez constante

Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante. Lo mismo podemos decir para la velocidad.
En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden.

Dirección de la velocidad

Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos dos informaciones: su rapidez y su dirección. Hay muchas formas de especificar la dirección según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones.
Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar la dirección mediante un ángulo u otra referencia:
Dirección: 30º
Dirección: Norte
En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa de la dirección.
Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales.
Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo.

¡El volante de un coche también es acelerador!

Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad.
Así la velocidad varía si cambia la rapidez o cambia la dirección o, por supuesto, si cambian ambas.
Observa que esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad.

La aceleración nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil.

Aceleración

Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación.
Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!
La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad:
Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.
Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.
Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.
La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa.
Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en la dirección.
La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia.
Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo:



Intervalo Rapidez media
durante el intervalo Distancia recorrida
durante el intervalo Distancia total
(desde t = 0)
0 - 1 s 5 m/s 5 m 5 m
1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m
2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m
3 s - 4 s 35 m/s 35 m 80 m

Observa que al ser diferente la rapidez media de cada intervalo, la distancia recorrida durante el mismo es también diferente.

Aceleración constante

La tabla anterior muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s².
Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado.

Otra conclusión que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2²) veces la recorrida en el primer segundo; a los 3 s la distancia recorrida es nueve (3²) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4²) esa distancia.
Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo.

Aceleración media

La aceleración media de un móvil se calcula utilizando la siguiente ecuación:

Con ella calculamos el cambio medio de rapidez en el intervalo de tiempo deseado.

Para conocer la aceleración instantánea se puede utilizar la misma aproximación que hicimos para el caso de la velocidad instantánea: tomar un intervalo muy pequeño y suponer que la aceleración media en él equivale a la aceleración instantánea.


Unidades

Como puedes deducir de la ecuación anterior, la aceleración se expresa en unidades de velocidad dividida entre unidades de tiempo. Por ejemplo:
3 (m/s)/s
1 (km/h)/s
5 (cm/s)/min

En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es 1 (m/s)/s, es decir 1 m/s².

Dirección de la aceleración

Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La dirección del vector aceleración depende de dos cosas:
de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo
de que el cuerpo se mueva en la dirección + o - .

El acuerdo que hemos tomado es:
Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento.
Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.

Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc.



Ecuaciones

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

d = d0 + V0 • t + ½ • a • t2

Vf = V0 + a • t


d es el desplazamiento del móvil
do es la posición inicial
t es el intervalo de tiempo que estamos considerando
vo es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
vf es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

Si el móvil parte del origen de coordenadas

Significa que la posición inicial eo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

d = V0 • t + ½ • a • t2

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

d = ½ • a • t2
Vf = at




Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.
Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

d = V0 • t
Vf = Vi

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.



Cómo resolver los ejercicios

Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:
a) Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
b) Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
c) Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
d) Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
e) Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado
f) Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.


Ejemplo
Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en rojo. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.
El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final vf es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial vo de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es -5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes.
El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento d de la moto mientras frena.
A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos:

Esquema:

Datos:
vo = +25 m/s
vf = 0 m/s
a = -5 m/s² Buscamos:
d = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

d = V0 • t + ½ • a • t2

Observa que no podemos calcular d hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:
Vf = Vi + a • t

Si sustituimos los valores conocidos de vf, vo y a, tenemos:

0 = 25 m/s + (-5) m/s²•t
-25 m/s = -5 m/s²•t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s


Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

d = 25 m/s • 5s + ½ (-5)m/s²•(5s)²
d = 125 m - 62,5 m = 62,5 m
d = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.
El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.
Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.