Prof : Chrístian A. Quiroz Ravanal

5º Guía de conceptos 2º Medio
Gráficos de Movimientos

En Cinemática utilizamos con frecuencia las gráficas para extraer información sobre las características de los movimientos que estudiamos.

De la gráfica posición-tiempo y de la gráfica velocidad-tiempo podemos extraer una valiosa información sobre las características de un movimiento analizando los valores de la pendiente.
Por ejemplo el valor de la pendiente en una gráfica posición-tiempo es la velocidad en ese momento y en la gráfica velocidad-tiempo la pendiente equivale a la aceleración en ese instante.
Área de la gráfica v-t

Ya hemos visto cómo se puede determinar la aceleración de un móvil mediante la gráfica v-t, pero no es lo único que podemos analizar en una gráfica velocidad-tiempo.
Como vamos a ver en esta página, también podemos utilizar las gráficas v-t para determinar la distancia recorrida por el móvil.
El área comprendida entre la línea de la gráfica v-t y los ejes, representa la distancia recorrida.
Podemos ver esto con algunos ejemplos:

La gráfica de la izquierda corresponde a un móvil que se desplaza con una velocidad constante de 30 m/s. El área azul representa la distancia recorrida por el móvil entre t = 0 y t = 3 s. Se trata de un rectángulo cuya base es 3 s y cuya altura es 30 m/s.
Como el área del rectángulo = base x altura, en nuestro caso será:
Área = 3 s • 30 m/s = 90 m
Por tanto durante los tres segundos que dura el movimiento, el móvil recorre una distancia de 90 m.
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En la gráfica de la derecha se representa el movimiento de aceleración negativa de un móvil que parte con velocidad inicial de 40 m/s y que se detiene a los 2 s.
Como el área del triángulo = ½ • b • h, tenemos:
Área = 0,5 • 2s • 40m/s = 40 m
La distancia recorrida en dos segundos es 40 m.
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El área marcada en este caso representa la distancia recorrida por el móvil entre 1s y 2,5s.
Como el área del trapecio = ½ • b • (h1 + h2), tenemos:
Área = 0,5 • 1,5 s •(20 m/s + 50 m/s) = 52,5 m
En este caso, por tanto, el móvil recorre 52,5 m.
Un método alternativo para calcular el área del trapecio consiste en
descomponerlo en un triángulo y un rectángulo:
Área del triángulo = ½ •b • h = 0,5 • 1,5 s • 30 m/s = 22,5 m
Área del rectángulo = b • h = 1,5 s • 20 m/s = 30 m
Como puedes observar la suma de estas dos áreas es 52,5 m, como habíamos calculado antes.

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Vamos a estudiar ahora un caso un poco más complicado.

El movimiento representado en la gráfica de la izquierda tiene velocidad positiva en el intervalo comprendido entre 0 y 2s y velocidad negativa en el segundo siguiente. Ya hemos calculado más arriba que el área del triángulo azul equivale a un desplazamiento de 40 m. Por su parte, el triángulo rojo representa un desplazamiento de:
Área = ½ • b • h = 0,5 • 1s •(-20)m/s = -10 m
El signo negativo nos indica que la distancia ha sido recorrida en sentido contrario. Por lo tanto en este caso la distancia recorrida y el desplazamiento son diferentes:
distancia recorrida = 40 m (derecha) y 10 m (izquierda) = 50 m
desplazamiento = 40 m - 10 m = 30 m
Como habrás observado para calcular la distancia recorrida sumamos las áreas sin considerar su signo, mientras que para determinar el desplazamiento sí se consideran los correspondientes signos.

Para comprobar que lo has entendido calcula el desplazamiento y la distancia recorrida en cada uno de los siguientes Ejercicios





Tramo A:


tipo de movimiento = Uniforme
base rectángulo = 10 s
altura rectángulo = 6 m/s
área = = 6 m/s • 10s = 60 m
Distancia y desplazamiento coinciden
El cuerpo recorre 60 m hacia la derecha durante el intervalo entre 0 y 10 s.
Tramo B:


tipo de movimiento = Uniformemente acelerado
base trapecio = 8 s
altura mayor = 6 m/s
altura menor = 1 m/s
área = ½ • 8s • (6 m/s + 1 m/s) = 28 m
Distancia y desplazamiento coinciden
El móvil recorre 28 m hacia la derecha en 8 s.
Tramo C:


tipo de movimiento = Uniforme
base rectángulo = 10 s
altura rectángulo = 1 m/s
área = 1 m/s • 10 s = 10 m
Distancia y desplazamiento coinciden
El móvil recorre 10 m hacia la derecha en 10 s.
Movimiento completo:


Duración total = 28 s
Distancia y desplazamiento coinciden porque no hay cambios en el signo de la velocidad.
Desplazamiento = 60m + 28m + 10m = 98m



Tramo A:


tipo de movimiento = Uniformemente acelerado
base triángulo = 10 s
altura triángulo = 4 m/s
área =½ • 4 m/s • 10 s = 20 m
Distancia y desplazamiento coinciden
El móvil recorre 20 m hacia la derecha en 10 s.
Tramo B:


tipo de movimiento = Está en reposo
tiempo = 10 s
área = 0
Durante 10 s permanece en reposo.
Tramo C:


tipo de movimiento = Uniformemente acelerado
base triángulo = 10 s
altura triángulo = -6 m/s
área =½ •(-6)m/s • 10s = -30 m
distancia y desplazamiento coinciden porque
no ha cambios en el signo de la velocidad
durante el tramo (siempre negativa).
Durante 10 s recorre 30 m hacia la izquierda.
Movimiento completo:


duración total = 30 s
distancia y desplazamiento no coinciden porque
hay cambios en el signo de la velocidad.
distancia = 20m + 30m = 50m
desplazamiento = 20m -30m = -10m



Tramo A:


tipo de movimiento = Uniforme
base rectángulo = 10 s
altura rectángulo = 5 m/s
área = 5 m/s • 10s = 50 m
distancia y desplazamiento coinciden
El cuerpo recorre 50m hacia la derecha en 10s.



Tramo B:


tipo de movimiento = Uniformemente acelerado
base triángulo = 10 s
altura triángulo = 5 m/s
área = ½ • 5m/s • 10s = 25 m
distancia y desplazamiento coinciden
El móvil recorre 25 m hacia la derecha en 10s.

Tramo C:


tipo de movimiento = Uniformemente acelerado
base triángulo = 10 s
altura triángulo = -5 m/s
área = ½ • (-5)m/s • 10s = -25 m
distancia y desplazamiento coinciden porque
no ha cambios en el signo de la velocidad
durante el tramo (siempre negativa).
Durante estos 10 s recorre 25 m hacia la izquierda.
Movimiento completo:


duración total = 30 s
distancia y desplazamiento no coinciden porque
hay cambios en el signo de la velocidad.
distancia = 50m + 25m + 25m = 100m
desplazamiento = 50m +25m -25m = 50m


Composición de Movimientos

Vamos a suponer que deseamos cruzar un río con una moto de agua que se mueve a velocidad constante.
Si ponemos el timón en la dirección del punto de destino, no llegaremos a éste porque la corriente nos irá arrastrando mientras avanzamos hacia la otra orilla.
Podemos decir que la moto de agua tiene simultáneamente un movimiento de avance hacia la otra orilla, producido por el motor, y otro movimiento de arrastre, producido por la corriente. Esto equivale a decir que el movimiento de la moto es la composición de los movimientos de avance y arrastre.
Ambos movimientos son uniformes (de velocidad constante) y, como consecuencia, el movimiento resultante también lo es.

Caída libre

Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad.
Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s², es decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo .
En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.
La aceleración a la que se ve sometido un cuerpo en caída libre es tan importante en la Física que recibe el nombre especial de aceleración de la gravedad y se representa mediante la letra g.

Lugar g (m/s²) Hemos dicho antes que la aceleración de un cuerpo en caída libre dependía del lugar en el que se encontrara. A la izquierda tienes algunos valores aproximados de g en diferentes lugares de nuestro Sistema Solar.
Para hacer más cómodos los cálculos de clase solemos utilizar para la aceleración de la gravedad en la Tierra el valor aproximado de 10 m/s² en lugar de 9,8 m/s², que sería más correcto.
Mercurio 2,8
Venus 8,9
Tierra 9,8
Marte 3,7
Júpiter 22,9
Saturno 9,1
Urano 7,8
Neptuno 11,0
Luna 1,6














En el gráfico y en la tabla se puede ver la posición de un cuerpo en caída libre a intervalos regulares de 1 segundo.
Para realizar los cálculos se ha utilizado el valor g = 10 m/s².
Observa que la distancia recorrida en cada intervalo es cada vez mayor y eso es un signo inequívoco de que la velocidad va aumentando hacia abajo.

tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7
posición (m) 0 -5 -20 -45 -80 -125 -180 -245


Ahora es un buen momento para repasar las páginas que se refieren a la interpretación de las gráficas e-t y v-t y recordar lo que hemos aprendido sobre ellas.
Ya hemos visto que las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo pueden proporcionarnos mucha información sobre las características de un movimiento.

Para la caída libre, la gráfica posición tiempo tiene la siguiente apariencia:















Recuerda que en las gráficas posición-tiempo, una curva indicaba la existencia de aceleración.
La pendiente cada vez más negativa nos indica que la velocidad del cuerpo es cada vez más negativa, es decir cada vez mayor pero dirigida hacia abajo. Esto significa que el movimiento se va haciendo más rápido a medida que transcurre el tiempo.

Observa la gráfica v-t de la derecha que corresponde a un movimiento de caída libre.
Su forma recta nos indica que la aceleración es constante, es decir que la variación de la velocidad en intervalos regulares de tiempo es constante.

tiempo (s) 0 1 2 3 4 5
velocidad (m/s) 0 -10 -20 -30 -40 -50









La pendiente negativa nos indica que la aceleración es negativa. En la tabla anterior podemos ver que la variación de la velocidad a intervalos de un segundo es siempre la misma (-10 m/s). Esto quiere decir que la aceleración para cualquiera de los intervalos de tiempo es:
g = -10 m/s / 1s = -10 m/s/s = -10 m/s²

Ecuaciones para la caída libre

Recuerda las ecuaciones generales del movimiento:

d = vo•t + ½•a•t²
vf = vo + a•t

Podemos adaptar estas ecuaciones para el movimiento de caída libre. Si suponemos que dejamos caer un cuerpo (en lugar de lanzarlo), entonces su velocidad inicial será cero y por tanto el primer sumando de cada una de las ecuaciones anteriores también será cero, y podemos eliminarlos:

d = ½•a•t²
vf = a•t

Por otro lado, en una caída libre la posición que ocupa el cuerpo en un instante es precisamente su altura h en ese momento.
Como hemos quedado en llamar g a la aceleración que experimenta un cuerpo en caída libre, podemos expresar las ecuaciones así:

h = ½•g•t²
vf = g•t

¿Una contradicción?

Si has estudiado con atención ésta página, estarás sorprendido porque hemos comenzado diciendo que la aceleración de la gravedad tiene un valor en la Tierra de 10 m/s² y, sin embargo, al realizar el estudio gráfico hemos llegado a la conclusión de que se trataba de un valor negativo: -10 m/s².
Recuerda que todas las observaciones que hacemos sobre las características de un movimiento dependen del sistema de referencia elegido (generalmente la Tierra).
En ocasiones nos interesa cambiar nuestro sistema de referencia para expresar los datos con mayor comodidad.
En el caso de la caída libre, parece lógico situar el sistema de referencia en la posición inicial del cuerpo para medir el alejamiento que experimenta y asignar valores positivos a las distancias recorridas hacia abajo.

tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7
posición (m) 0 5 20 45 80 125 180 245

Esto significa que ahora estamos considerando sentido positivo hacia abajo y sentido negativo hacia arriba, por lo que la gráfica posición-tiempo sería como la anterior.
De la nueva gráfica posición-tiempo deducimos que ahora la velocidad es positiva (hacia abajo) y cada vez mayor porque la pendiente es positiva y cada vez mayor.
El valor que obtenemos ahora para g es +10 m/s², pero no se trata de una contradicción.
Recuerda que hay un convenio para interpretar qué sentido tiene la aceleración:
Si el móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento.
Si el móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.
Si aplicamos este convenio nos damos cuenta de que el sentido de g no ha cambiado: sigue siendo hacia abajo.

¿Subir en caída libre?
¡Pues sí!

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzará una altura máxima y después caerá. Tanto la fase de subida como la de bajada son de caída libre porque así llamamos a los movimientos que sólo dependen de la gravedad.
Mientras el cuerpo va hacia arriba, su rapidez disminuye y por lo tanto la gravedad estará dirigida en sentido contrario, es decir hacia abajo.
Veamos un ejemplo:
Supón que estamos en la Luna y lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, ¿qué altura máxima alcanzará?
Al encontrarnos en la Luna, utilizaremos el valor de g que aparece en la tabla. Como la rapidez del movimiento irá disminuyendo hasta hacerse cero en el punto de altura máxima, la gravedad será de sentido contrario al de la velocidad. Así, el valor de la gravedad que debemos utilizar es g = -1,6 m/s².
La velocidad final es cero ya que es la velocidad que tiene el cuerpo cuando alcanza su altura máxima, y ese instante es el final de nuestro estudio (no nos preguntan lo que ocurre después de ese momento).
Esquema: Datos: Buscamos:

vo = +20 m/s
vf = 0 m/s
g = -1,6 m/s² h = ?

Para calcular la altura debemos utilizar la ecuación:

h = vo•t + ½•g•t²

pero necesitamos saber, previamente, el tiempo en el que se alcanzará la altura máxima, para lo que utilizaremos la ecuación:

vf = vo + g•t
0 = 20 m/s + (-1,6) m/s²•t
-20 m/s = -1,6 m/s²•t
t = (-20 m/s)/(-1,6 m/s²) = 12,5 s

Ya podemos calcular la altura:

h = vo•t + ½•g•t²
h = 20 m/s•12,5 s + 0,5•(-1,6 m/s²)•(12,5 s)²
h = 250 m - 125 m = 125 m

Este resultado no es exagerado ya que hemos hecho los cálculos para la Luna, donde la gravedad es unas seis veces menor que en la Tierra.

Tiro Parabólico

Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado.

Y las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:

Magnitud Componente x Componente y
aceleración ax = 0 ay = -g
velocidad vx = v0x vy = v0y - gt
posición x = v0xt y = v0yt-(1/2)gt2

Observa que la aceleración no depende del tiempo (es constante), pero la velocidad y la posición del móvil sí que dependen del tiempo. En el tiro parabólico son de interés la altura máxima y el alcance (o desplazamiento horizontal) conseguido.

La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical vy de la velocidad se hace cero. Como vy = v0y - gt, se alcanzará la altura máxima cuando t = v0y/g. Utilizando estos datos llegarás fácilmente a la conclusión de que el valor de la altura máxima es:

ymax= v0y2/2g = (v02/2g) sen2α

El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante v0x durante el tiempo de vuelo, que será 2t (siendo t el tiempo en alcanzar la altura máxima) ya que el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar, por lo tanto el alcance es:

xmax = v0x2t

es decir

alcance = xmax = (v02/g) sen 2α