Prof : Christian Quiroz Ravanal

1º Guía de conceptos 1º Medio

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Movimiento del péndulo

Un péndulo es un objeto cualquiera atado a una cuerda suspendido de un punto, de modo que pueda oscilar libremente.

Longitud del péndulo : Es la longitud del hilo. Se mide desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad del cuerpo que oscila.

Oscilación : Es el movimiento realizado por el péndulo desde una de sus posiciones extremas hasta la otra, y su vuelta hasta la primera posición.

Período : Es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación. Para calcular el período de un péndulo si se conoce la longitud y la aceleración de gravedad, entonces se aplica la formula :
T = 2π√ /g
Amplitud : es el ángulo formado por la vertical con el hilo, cuando el péndulo está en una de sus posiciones extremas.

Leyes del péndulo :

Primera ley : El período de un péndulo es independiente de su amplitud

Segunda ley : El período de un péndulo es independiente de su masa.

Tercera ley : El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.








Supongamos dos péndulos, uno de ellos tiene doble longitud, medimos el período T del péndulo corto y el período T del péndulo largo y encontramos que el período del péndulo largo es mayor pero no es el doble. Si alargamos más el péndulo mayor, el período va aumentando y llega el momento en que el período es el doble que en el péndulo mas corto, si seguimos alargando, llega el momento en que el período del grande se hace el triple del período del péndulo chico. Cuando esto sucede, su longitud es 9 veces la longitud del péndulo chico, así sucesivamente.

En resumen, el período es :

2 3 4 5

veces mayor, cuando la longitud es :

4 ( = 22 ) 9 ( = 32 ) 16 ( = 42 )

veces la del péndulo chico. Es decir que : los períodos aumentan 2, 3, 4, 5,....veces, cuando las longitudes crecen según los cuadrados de esos números.

Longitud LLongitud 4L Longitud 9L
Período T Período 2T Período 3T


Razón entre cada período y la raíz cuadrada de la longitud correspondiente.

T1 = T2
√L1 √ L2



Ejemplo : Si tomamos un péndulo que mide 4cm y que tiene un período de oscilación de
0,4 s y aumentamos su período al doble.¿Qué largo tendrá ahora?

Solución :

1.- Se extraen los datos del problema
T1 = 0,4 s
L1 = 4 cm
T2 = 2T1 = 0,8 s
L2 = ?

2.- Desarrollo : 0,4 s = 0,8 s
√ 4 √L2

Despejando la incógnita L2 = 0,8x √ 4 = 16cm
0,4


Vibraciones y ondas.

Por todos lados vemos cosas que se agitan y se mueven. Hasta los objetos que no podemos ver porque son demasiado pequeños, como los átomos, se agitan y se mueven constantemente. Un vaivén en el tiempo constituye una vibración. Una vibración no puede existir en un instante determinado: se requiere tiempo para ir de un lado a otro. Si haces sonar una campana las vibraciones continuarán por algún tiempo antes de apagarse.

VIBRACIÓN : Todo movimiento o perturbación de vaivén que se repite con
regularidad.

Ondas

Todo movimiento vibratorio produce ondas, si colocamos un cordel amarrado a una silla y del otro extremo lo agitamos hacia arriba y hacia abajo podemos ver que el cordel oscila, si lo analizamos podemos descubrir algunas de sus características.

La distancia máxima A de desplazamiento de un punto del perfil de onda respecto del eje de simetría de ésta llamada línea de equilibrio de la onda se llama amplitud de la onda.

.







Se llama elongación de un punto P de un perfil de onda, a su distancia en un instante, a la línea de equilibrio.

El tiempo necesario para que un punto P efectúe una oscilación, se llama período y se anota por T.
T = 1
f

Llamamos frecuencia de una oscilación a la cantidad de oscilaciones que ocurren en un determinado tiempo. Por ejemplo 4 oscilaciones en un segundo

F = 1 ( Hertz )
T

Llamamos longitud de onda λ a la distancia entre dos puntos adyacentes en fase.

La onda se propaga con una rapidez constante que es igual a v = λ
T
Actividad :

En la figura se ha representado una onda. Cada cuadrado mide 1m







a) Cuanto mide la amplitud de la onda. R =
Si la onda dibujada demoró 30s en ir desde A hasta B Calcula :

b) número de ciclos Resp :
c) longitud de onda Resp :
d) Frecuencia Resp :
e) Período Resp :
f) Velocidad de propagación Resp :

Calculo .

1.- Un timbre vibra con una frecuencia de 50 Hz. Su sonido se propaga por el aire con una
rapidez de 340 m/s ¿cuál es su período y su longitud de onda?.

2.- Una onda tarda 10 s en realizar 5 ciclos, recorriendo una distancia de 25m.

Calcula los valores de su :
a) Frecuencia
b) Período
c) Longitud de la onda
d) Velocidad de propagación

3.- Un péndulo de longitud 1 tiene determinado período T. ¿Cuántas veces mayor será la longitud del péndulo cuyo período es 2T?

4.- Un péndulo tiene un período T.¿Qué período tendrá un péndulo de longitud 3 veces
mayor?

5.- ¿Cuál es el período de un péndulo de 36cm de largo?

6.- Qué longitud habrá que darle a un péndulo, para que oscile con un período de T = 2,4s?
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Laboratorio

Experimento:


Fabriquemos un péndulo, colocando un objeto atado a un hilo y lo dejamos colgar en un lugar adecuado para poder realizar las mediciones, observemos cuidadosamente, mediante un reloj cronómetro midamos los tiempos y anotemos los resultados. Como el tiempo es muy corto dejemos que oscile unas diez veces y el resultado lo dividimos por diez para conocer el tiempo de una oscilación. Anota los resultados en la tabla pa ra poder comparar.
Una vez terminado al experimento, con los resultados responde las preguntas.

¿Qué ocurre si aumentamos o disminuimos el largo del hilo?
¿Qué ocurre con el período si aumentamos o disminuimos su amplitud?
¿ Que ocurre si cambiamos la bolita por una más grande o más pequeña ( aumentamos
o disminuimos la masa )?
¿ Que ocurre con la velocidad?.

 : Largo del péndulo
A : Amplitud del péndulo
m : Masa del péndulo
T : Período del péndulo


cm A (Grados) m ( Kg ) T ( s ) cm A (Grados) m ( Kg ) T ( s )
30cm 10º 30cm 10º
30cm 30º 30cm 30º
30cm 45º 30cm 45º
30cm 60º 30cm 60º
30cm 70º 30cm 70º
30cm 80º 30cm 80º


cm A (Grados) m ( Kg ) T ( s ) cm A (Grados) m ( Kg ) T ( s )
60cm 10º 60cm 10º
60cm 30º 60cm 30º
60cm 45º 60cm 45º
60cm 60º 60cm 60º
60cm 70º 60cm 70º
60cm 80º 60cm 80º

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2º Guía de conceptos 1º Medio
Vibraciones y ondas.

Por todos lados vemos cosas que se agitan y se mueven. Hasta los objetos que no podemos ver porque son demasiado pequeños, como los átomos, se agitan y se mueven constantemente. Un vaivén en el tiempo constituye una vibración. Una vibración no puede existir en un instante determinado: se requiere tiempo para ir de un lado a otro. Si haces sonar una campana las vibraciones continuarán por algún tiempo antes de apagarse.

VIBRACIÓN : Todo movimiento o perturbación de vaivén que se repite con
regularidad.

Ondas

Todo movimiento vibratorio produce ondas, si colocamos un cordel amarrado a una silla y del otro extremo lo agitamos hacia arriba y hacia abajo podemos ver que el cordel oscila, si lo analizamos podemos descubrir algunas de sus características.

La distancia máxima A de desplazamiento de un punto del perfil de onda respecto del eje de simetría de ésta llamada línea de equilibrio de la onda se llama amplitud de la onda.

.







Se llama elongación de un punto P de un perfil de onda, a su distancia en un instante, a la línea de equilibrio.

El tiempo necesario para que un punto P efectúe una oscilación, se llama período y se anota por T.
T = 1
f

Llamamos frecuencia de una oscilación a la cantidad de oscilaciones que ocurren en un determinado tiempo. Por ejemplo 4 oscilaciones en un segundo

F = 1 ( Hertz )
T

Llamamos longitud de onda λ a la distancia entre dos puntos adyacentes en fase.

La onda se propaga con una rapidez constante que es igual a v = λ
T
Actividad :

Dibuja una figura rectangular con cuatro cuadrados en forma vertical y 16 en forma horizontal, donde cada cuadrado mida 1 m dibuja una onda.
A B







b) Cuanto mide la amplitud de la onda. R =
Si la onda dibujada demoró 30s en ir desde A hasta B Calcula :

b) número de ciclos Resp :
c) longitud de onda Resp :
d) Frecuencia Resp :
e) Período Resp :
f) Velocidad de propagación Resp :

Calculo .

1.- Un timbre vibra con una frecuencia de 50 Hz. Su sonido se propaga por el aire con una
rapidez de 340 m/s ¿cuál es su período y su longitud de onda?.

2.- Una onda tarda 10 s en realizar 5 ciclos, recorriendo una distancia de 25m. Calcula los
valores de su :
e) Frecuencia
f) Período
g) Longitud de la onda
h) Velocidad de propagación

3.- Un péndulo de longitud 1 tiene determinado período T. ¿Cuántas veces mayor será la
longitud del péndulo cuyo período es 2T?

4.- Un péndulo tiene un período T.¿Qué período tendrá un péndulo de longitud 3 veces
mayor?

5.- ¿Cuál es el período de un péndulo de 36cm de largo?

6.- Qué longitud habrá que darle a un péndulo, para que oscile con un período de T = 2,4s?

Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.


Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:


Magnitudes Escalares


Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:
Masa
Temperatura
Presión
Densidad
Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Vector

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

* Un origen o punto de aplicación: A.
* Un extremo: B.
* Una dirección: la de la recta que lo contiene.
* Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
* Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.


Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos

a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k


Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0
Vectores unitarios y componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.


Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.


De ese modo,


Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:


Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.


También puede representarse de la siguiente forma:

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.


Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.
Suma de Vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:


Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:


Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.


Método Algebraico para la Suma de vectores


Dados tres vectores


La expresión correspondiente al vector suma es:


o bien


siendo, por tanto,


La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
Conmutativa

a + b = b + a
Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0

a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a'

a + a' = a' + a = 0

a' = -a
Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :

1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Ejemplo :


Propiedades

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k · v = v · k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v ) + (k · u).
3.- Elemento Neutro: 1 · v = v.
4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.
Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
Propiedades

Conmutativa : r · v = v · r
Distributiva : r · ( v + u ) = r · v + r · u
Asociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar.

Además :

1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).
3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

Ejemplo :

Proyección ortogonal (rv) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rv

Ejemplo :

Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que forman.

Primero hallamos el producto escalar de los vectores :

r · v = 5 · (-2) + (-3) · 1 + 2 · 3 = -7

Ahora calculamos el angulo que forman;

sabemos que :


como ya calculamos r · v, nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

|r| · |v| = 22.17.

Entonces


y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.
Aplicación: ángulo entre dos vectores
Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.


Propiedades:


Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b:


Con lo que deducimos que:

* El cos dará siempre entre 0 y 1
* El producto escalar varía como máximo entre el y 0
* El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares

Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.

Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.

En este caso, , podemos sacar como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b son mutuamente perpendiculares.
Producto vectorial

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,


Se escribe . Por tanto:


donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.

Propiedades:



Módulo de un vector

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.

Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:


Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.

Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:



y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:

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4º Guía de conceptos 2º Medio
MOVIMIENTOS

¿Qué es el movimiento?

Cinemática y Dinámica

Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él.
La Cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características mientras que la Dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos.

Trayectoria

Hemos dicho en el apartado anterior que la trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria:

Tipos de Movimientos Tipos de trayectorias
de una dimensión Líneas rectas
de dos dimensiones Líneas curvas planas
de tres dimensiones Líneas curvas no planas

Movimientos rectilíneos

Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta.

Movimientos curvilíneos

Ya has visto en la tabla anterior que podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones.
Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria.
Así, podemos citar:

Movimientos circulares

Movimientos elípticos

Movimientos parabólicos


Distancia y Desplazamiento

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente.
La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.


En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.

Rapidez y Velocidad

Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia.
Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes.
Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes.

La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.
La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo.


Unidades

Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:
m/s
cm/año
km/h

En el Sistema Internacional, la unidad para la rapidez media es el m/s (metro por segundo).

Rapidez media

La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora.

Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo.

Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es:
150 km / 3h = 50 km/h

¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora?

Solución :

Queremos calcular la distancia que recorrerá en media hora un coche que circula con una rapidez media de 50 km/h.

Como :
rapidez media = distancia / tiempo

si despejamos la distancia, será:

distancia = rapidez media • tiempo = 50 km/h • 0,5 h = 25 km

Velocidad media

La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.











Si conoces bien la diferencia entre distancia y desplazamiento, no tendrás problemas para realizar la siguiente actividad:



Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico.


Cálculo de la rapidez media

Tramo A - B
distancia recorrida = 350 m
tiempo empleado = 3 min

Tramo B - C
distancia recorrida = 200 m
tiempo empleado = 2 min

Tramo C - D
distancia recorrida = 450 m
tiempo empleado = 5 min = 300s

Movimiento completo
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m
tiempo = 10 min = 600s
rapidez media = distancia/tiempo = 1000 m/10 min = 100 m/min = 1.66 m/s

Cálculo de la velocidad media

Para la velocidad sólo nos interesa el inicio y el final del movimiento.


desplazamiento = posición final - posición inicial =
= -100 m - 500 m = -600 m

Como la duración del movimiento es 10 min, tenemos:
velocidad media = desplazamiento/tiempo =
= -600m/10 min = -60 m/min = - 1 m/s

Velocidad instantánea y rapidez instantánea

Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h.
Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido a echar gasolina o a tomar un bocadillo y sabemos que al atravesar las poblaciones hemos viajado más lento que en los tramos de carretera.
Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos.
Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:

Rapidez instantánea : la rapidez en un instante cualquiera.
Rapidez media : es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo.

Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor.
Supón que queremos conocer la rapidez de una piragua justamente en el instante de cruzar la meta.
Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que la piragua se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final.
Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta.
¿Y si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro, o para....?

Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea.

Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.

Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.

En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes. La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo.

Rapidez constante

Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante. Lo mismo podemos decir para la velocidad.
En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden.

Dirección de la velocidad

Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos dos informaciones: su rapidez y su dirección. Hay muchas formas de especificar la dirección según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones.
Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar la dirección mediante un ángulo u otra referencia:
Dirección: 30º
Dirección: Norte
En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa de la dirección.
Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales.
Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo.

¡El volante de un coche también es acelerador!

Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad.
Así la velocidad varía si cambia la rapidez o cambia la dirección o, por supuesto, si cambian ambas.
Observa que esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad.

La aceleración nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil.

Aceleración

Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación.
Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!
La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad:
Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.
Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.
Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.
La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa.
Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en la dirección.
La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia.
Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo:



Intervalo Rapidez media
durante el intervalo Distancia recorrida
durante el intervalo Distancia total
(desde t = 0)
0 - 1 s 5 m/s 5 m 5 m
1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m
2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m
3 s - 4 s 35 m/s 35 m 80 m

Observa que al ser diferente la rapidez media de cada intervalo, la distancia recorrida durante el mismo es también diferente.

Aceleración constante

La tabla anterior muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s².
Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado.

Otra conclusión que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2²) veces la recorrida en el primer segundo; a los 3 s la distancia recorrida es nueve (3²) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4²) esa distancia.
Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo.

Aceleración media

La aceleración media de un móvil se calcula utilizando la siguiente ecuación:

Con ella calculamos el cambio medio de rapidez en el intervalo de tiempo deseado.

Para conocer la aceleración instantánea se puede utilizar la misma aproximación que hicimos para el caso de la velocidad instantánea: tomar un intervalo muy pequeño y suponer que la aceleración media en él equivale a la aceleración instantánea.


Unidades

Como puedes deducir de la ecuación anterior, la aceleración se expresa en unidades de velocidad dividida entre unidades de tiempo. Por ejemplo:
3 (m/s)/s
1 (km/h)/s
5 (cm/s)/min

En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es 1 (m/s)/s, es decir 1 m/s².

Dirección de la aceleración

Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La dirección del vector aceleración depende de dos cosas:
de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo
de que el cuerpo se mueva en la dirección + o - .

El acuerdo que hemos tomado es:
Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento.
Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.

Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc.



Ecuaciones

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

d = d0 + V0 • t + ½ • a • t2

Vf = V0 + a • t


d es el desplazamiento del móvil
do es la posición inicial
t es el intervalo de tiempo que estamos considerando
vo es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
vf es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

Si el móvil parte del origen de coordenadas

Significa que la posición inicial eo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

d = V0 • t + ½ • a • t2

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

d = ½ • a • t2
Vf = at




Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.
Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

d = V0 • t
Vf = Vi

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.



Cómo resolver los ejercicios

Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:
a) Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
b) Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
c) Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
d) Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
e) Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado
f) Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.


Ejemplo
Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en rojo. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.
El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final vf es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial vo de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es -5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes.
El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento d de la moto mientras frena.
A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos:

Esquema:

Datos:
vo = +25 m/s
vf = 0 m/s
a = -5 m/s² Buscamos:
d = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

d = V0 • t + ½ • a • t2

Observa que no podemos calcular d hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:
Vf = Vi + a • t

Si sustituimos los valores conocidos de vf, vo y a, tenemos:

0 = 25 m/s + (-5) m/s²•t
-25 m/s = -5 m/s²•t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s


Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

d = 25 m/s • 5s + ½ (-5)m/s²•(5s)²
d = 125 m - 62,5 m = 62,5 m
d = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.
El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.
Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.